（返信おくれました）コメントありがとうございます。ブラウザ側での実行許可指定があるので動作しても問題ないように思えます。作成者がプライベートブラウジングこの拡張機能を使用していないことに起因します。
意図的に動作を抑止しているわけではありません。使用上問題なかったのでしばらくメンテナンスしていませんでした。時間をみて調査します。

(06/08)遅くなりましたが、本日対応したものを公開しました。

ご利用ありがとうございます。

この機能を作成するときにも、「事前のオプション設定、ボタンを押す」にするか、「ボタンを押す→開くサイトを選択する」にするか迷いましたが、操作が少ない「事前のオプションの設定」にしました。
事象は再現しないのですが、オプション設定の変更通知あたりになにか問題があるのかもしれません。

オプション設定を使用しない「ボタンを押す→開くサイトを選択する」に変更したいと思います。
現在、使用しているのですが、それほど操作負担はありません。しばらくお待ちください。

2021/08/28 追記
0.20として先ほどリリースできました。